Une transformation de Lorentz devient-elle « non-physique » quand on la diagonalise ?  1

Auteur : Jacques Lavau.  1

Résumé : 1

1.     Rappels : les rotations et leurs gyreurs. 1

1.1.   Terminologie. 1

1.2.   En espace euclidien de dimension 2. 1

1.3.   En espace euclidien de dimension 3. 1

2.     La transformation de Lorentz propre. 2

2.1.   Groupe de Lorentz propre, dans l'espace-temps de Minkowski. 2

2.2.   Réécriture de la métrique dans la base appropriée. 3

2.3.   Le résultat de Schrödinger de 1930. 4

3.     Discussion. 4

4.     Propositions  5

5.     Conclusion  5

Bibliographie. 5

 

Une transformation de Lorentz devient-elle « non-physique » quand on la diagonalise ?

 

Auteur : Jacques Lavau.

 

Résumé :

Alors que les rotations euclidiennes ont des valeurs propres complexes, et des directions propres complexes, les transformations de Lorentz restreintes aux seules vitesses rectilinéaires, ont des valeurs propres réelles, et des directions propres réelles. Ces directions propres sont situées sur le cône de lumière, et peuvent s’inter­pré­ter comme la composition d’un mouvement luminique direct, et d’un mouvement luminique inverse, que l’on peut interpréter comme antichrone. Cette interprétation aurait embarrassé A. Einstein, alors qu’elle est conforme à l’intégration par Schrödinger de l’équation de Dirac : le "Zitterbewegung", qui passa quasi-inaperçu.

Nous proposons de considérer ces formes diagonales comme microphysiques, et non comme non-physiques.

1.     Rappels : les rotations et leurs gyreurs.

1.1.   Terminologie.

Les transformations de Lorentz ont en commun avec les rotations de l’espace euclidien, de conserver une distance, ou une pseudo-distance dans le cas de la métrique de Minkowski. Ce sont donc des isométries. L’opérateur différentiel d’une isométrie euclidienne directe (autrement dit : de déterminant + 1) est un tenseur antisymétrique de rang deux. Pour abréger, nous le désignons comme un « gyreur ». Cela évite de tout confondre, comme le fait hélas l’enseignement de la physique, quand on y désigne les gyreurs (tenseurs antisymétriques de rang deux) sous le baptême de « vecteur axial », voire pis, de « vecteur » tout court.

De même, pour éviter les interminables confusions habituelles, nous ne désignons comme « vecteurs » que ce qui répond à la définition de Bellavitis, de 1836, comme classes d’équivalence de bipoints dans un espace métrique affine. Leurs inverses sont désignés comme covecteurs. Ils ont donc toutes les propriétés métriques nécessaires aux besoins courants du physicien. Des grandeurs physiques scalaires, ils héritent la contravariance des coordonnées (covariance pour les covecteurs), relative aux changements d’unités physiques, et autres changements de base (APMEP 1982). On n’obtient de descripteurs stables des phénomènes physiques que lorsque la loi de variance des coordonnées est régulière. De tels vecteurs et covecteurs sont tout naturellement immergés dans la famille générale des tenseurs, dont ils représentent l’échelon 1.

Ceci par opposition aux membres d’un espace vectoriel abstrait, auxquels on ne demande que des propriétés algébriques, et aucune propriété métrique ni familiale, que nous désignons par « vectoroïdes » (Lavau 1997).

Nous distinguons une « droite », de la classe d’équivalence de toutes les droites ayant même direction : cette classe est désignée comme « équidroite ». De même, un « équiplan » est la classe d’équivalence des plans ayant une même direction.

1.2.   En espace euclidien de dimension 2.

Toute matrice de rotation d’angle θ, R = , peut s’écrire comme l’exponentielle matricielle exp(θJ) du gyreur J dθ. Une rotation infinitésimale s’exprime comme 1 + J dθ. Le gyreur J, générateur des rotations est donc le coefficient de l’angle infinitésimal dθ, dans une rotation infinitésimale 1 + J dθ.

J = = = .

Le polynôme caractéristique de R vaut : (λ² + 1 -2 λ cos θ), dont les racines λ = cos θ ± i.sin θ, sont les valeurs propres de R. Si l’on excepte le cas particulier où l’angle θ est nul (mod π), et où en toutes bases, R se réduit à ± l’identité, R ne se diagonalise que sur une base complexe, dont les directions propres sont des isotropes. Ainsi, sur la base propre , , J prend la forme diagonale : , et R prend la forme : .

Son invariant d’ordre 1, ou trace :  Rii = 2 cos θ.

Son invariant d’ordre 2 est ici le déterminant :  R11 .R2 -  R21 .R12  = 1.

En dimension deux, la rotation d’angle droit, et de sens positif, est indiscernable de son générateur J.

Ces directions propres complexes isotropes sont en relation directe avec la factorisation de la métrique euclidienne, sur le corps des complexes : ds² = dx² + dy² = (dx + idy)(dx-idy), exprimée pour la simplicité sur une base canonique, orthonormée (où le tenseur métrique est donc unitaire). Unité physique omise : m2.

Nous ne traiterons pas ici de la décomposition des rotations en un couple de réflexions.

1.3.   En espace euclidien de dimension 3.

Toute rotation peut s’exprimer dans une base appropriée, dont une direction est alignée avec sa droite invariante, et sa matrice prend alors la forme simplifiée par blocs, dont voici trois formes :

Rxy) = .     Rzx) = .     Ryz) = .

La relation d’exponentiation est similaire : Jxy dθ est le générateur de la rotation Rxy) : 

Définissant le gyreur Jxy par : Jxy= = , alors :   Rxy) = exp (θJxy).

Le gyreur n’est plus identique à une rotation d’angle droit, mais est le composé d’une rotation d’angle droit, par le projecteur orthogonal sur l’équiplan stable de R. Ce projecteur a pour noyau (préimage de zéro) l’équidroite invariante de R. Toute rotation commute avec son projecteur associé à son sous-espace stable.

La diagonalisation est en prolongement de celle déjà vue en dimension 2 : sur la base complexe dont la matrice est , Jxy prend la forme , et Rxy) prend la forme diagonale .

Cette base est utilisée sous le nom de « base standard » en mécanique quantique. On rappelle qu’en dimension supérieure à 2, les rotations ne sont plus commutatives. Pourtant, pour deux matrices de rotations d’angle infinitésimal dθ, leurs deux produits, à droite et à gauche, ne diffèrent plus que d’un infiniment petit du second ordre, en d²θ. C’est ce qui justifie l’omniprésente utilité des gyreurs en mécanique et en électromagnétisme : vitesse angulaire, moment angulaire, couple de forces, champ magnétique, moment magnétique, etc.

Nous ne traiterons pas ici des factorisations de la forme métrique, par des quaternions ou par des spinorielles de Pauli.

2.     La transformation de Lorentz propre.

2.1.   Groupe de Lorentz propre, dans l'espace-temps de Minkowski.

Donnons à la coordonnée temps le numéro d'indice zéro, ce qui laisse inchangé tout ce que nous savons sur les indices d'espace 1, 2 et 3, en dimension 3. Sacrifions aussi à l'habitude dangereuse de faire c = 1.

2.1.1.    La particularité de l'espace-temps de Minkowski, est que pour tout événement ayant quelque relation au genre propagation d'onde électromagnétique (et plus généralement, au genre propagation d'onde sans masse), la métrique compétente, valide depuis des repères macroscopiques et massifs, est pseudo-euclidienne :

ds² = dt² - dx² - dy² - dz² =  (dt; dx; dy; dz) .g . t(dt; dx; dy; dz)              (unité physique omise : m2 ou s2).

Nous ne savons rien en déduire de la métrique propre à un photon, notamment comment il voit son étalement sur quelques dix périodes (laser femtoseconde), à plusieurs millions de périodes (cas plus courant).

Coordonnées du tenseur métrique minkowskien dans une de nos bases humaines :          g =

2.1.2.    Toute propagation de ce genre, et qui soit à masse nulle, a la propriété que son temps propre est nul.

En plus des rotations déjà connues sur le sous-espace d’étendue, nous trouvons trois nouvelles isométries minkowskiennes (notées M-isométries) élé­mentaires. Ecrivons ainsi la matrice décrivant une translation uniforme selon l'axe x, à la vitesse c.tanh(φ) : R01(φ) = ,  qui se diagonalise en : sur la base caractéristique de cette direction de propagation. Matrice de cette base appropriée :

que l'on peut aussi écrire ainsi : , indépendante de la rapidité φ.

Attention! Ces valeurs propres eφ et e ne sont pas à multiplier par c pour obtenir des célérités : ce ne sont que des proportions de chaque propagation instantanée, la majoritaire dans le sens de dérive générale de la particule, la minoritaire en sens opposé, à reculons.

Prenons l’exemple des électrons d'un tube de télévision couleur, accélérés sous 24 kV. Le quotient (énergie totale /énergie au repos), égal à ch(φ), vaut 1,0469668. L'argument φ vaut donc Argch(1,0469668) = 0,305230. La vitesse v de l'électron dans le repère du téléviseur vaut 88 784 827 m/s, en moyenne macroscopique. Elle se compose d’un mouvement luminique direct, sur une durée (comptée dans le repère du téléviseur) proportionnelle à eφ= 1,35703, et d’un mouvement rétroluminique, sur une durée proportionnelle à e = 0,73690.

Cela contraste avec la vitesse de phase broglienne sur l'axe de propagation, obtenue par une inversion dont le rayon est la célérité de la lumière. Pour ces mêmes électrons, la vitesse de phase de leur onde, largement supraluminique, vaut c²/v = c.coth(φ) = 3,37662 .c (la longueur d’onde broglienne vaut alors 8,193 pm, ou 8193 fm).

Il est remarquable que là, la base de diago­nalisation est entièrement réelle. Mais ses deux premiers vecteurs de base sont M-isotro­pes :   et  sont tous deux de M-module nul, donc tous deux du genre lu­mière, et de célérité opposée : s'ils sont dans la même direction d’espace, l'un est ortho­chrone, l'autre antichrone.

Alternativement, on peut les considé­rer tous deux orthochrones (ou tous deux antichrones) mais de direction de propagation oppo­sée. Jusqu'à présent, on a aveuglément privi­légié une seule de ces orien­tations, sans fournir d'ar­gu­men­tation expérimentale.

Ces deux vecteurs de base propre sont intrinsèques à cette direction (spatiale) de propagation, et indépendants de la vitesse de propagation.

Ils sont tous deux dans le cône de lumière. Ces axes intrinsèques sont les asymptotes des deux branches d'hyperboles équilatères contenant les événements à distance ordinaire (humaine) finie.

 

Cette figure est provisoirement incomplète.

 

Par développement limité, on obtient l’opérateur différentiel, donc le générateur :

dR01 = dφ. , diagonali­sable sur la même base, en que multiplie dφ (dφ et φ réels, pour les isométries propres).

Les trois paires de vectoroïdes-propres (nous avons explicité une seule) appartiennent au "cône de lumière", ou cône M-isotrope, en ce sens que tous les vecteurs y sont de "M-longueur" nulle, au sens de la norme pseudo-euclidienne de Minkowski.

Nous concluons que les trois prolongements des gyreurs de rotation d’étendue, sont complétés par trois autres opérateurs symétriques de base (comment les dénommer? "coupleurs étendue-durée"?, "coupleurs luminiques"?, "célérifères"? ), formant une base des directions de pro­pagation d'une onde électromagnétique :

J01 = ,     J02 = ,     J03 = .

Nous continuons d'observer la relation d'exponentiation :                        R01(f) = exp(J01.φ)

2.2.   Réécriture de la métrique dans la base appropriée.

Nous voulons réexprimer ds² dans la base propre à la propagation, ici particularisée par la direction x, toujours avec la convention d’écriture, c = 1.

Dans la base propre à la direction dx/dt, g prend la forme :  .

Désignons par e et f,  les nouveaux vecteurs de base orthonormaux (conservant l’unité physique), respectivement e pour l'orthochrone (avec "e" comme Einstein, qui ne croyait qu'à la causalité strictement orthochrone), et f pour l'antichrone (avec "f" comme Feyn­man, qui ne s'est pas privé de dessiner la causalité antichrone dans ses diagrammes). Désignons par o et a les coordonnées sur les nouveaux vecteurs de base, respectivement o pour orthochrone, et a pour antichrone. Leur traitement est désormais symétrique.

Ecrivons alors la M-distance : ds² = 2do.da - dy² - dz² . Et sur la direction de propagation, dy et dz sont nuls, il ne reste plus que la factorisation : ds² = 2do.da   (unité physique toujours omise).

La transformation continue entre cette forme propre du tenseur métrique, et la forme connue dans une base massique, telle que la base du laboratoire, est lorentzienne complexe, d’argument (rapidité imaginaire pure). Alors qu’une transformation de Lorentz à coefficients réels (de rapidité réelle) n’est compétente que pour passer d’une base massique à une autre base massique. Elle laisse invariant le tenseur métrique, et elle est incapable d’atteindre une base propre, biluminique. Par anthropocentrisme abusif, on s’était précipité d’oublier les bases propres et la métrique propre, sous l’accusation de "non physiques".

2.3.   Le résultat de Schrödinger de 1930.

En 1930, E. Schrödinger montra que selon l’équation d’onde relativiste pour l’électron, le mouvement d’un électron se compose d’une dérive, correspondant à notre notion habituelle de vitesse, subluminique pour une particule massive, et d’une oscillation de fréquence double de la fréquence broglienne, 2H/h (environ 2,47 . 1020 Hz), et dont la demi-amplitude est la moitié du rayon Compton ( égal à h/mc, environ 386 fm au repos). De plus, la projection de la vitesse résultante sur l’axe de propagation de l’électron, est à tout instant  ± c. Au contraire d’un photon, qui ne galope qu’en marche avant, l’électron galope tantôt en avant, tantôt à reculons. Evidemment, cette information est incompatible avec la représentation corpusculaire : la réunion des deux est absurde, et une des deux informations est nécessairement fausse. Or la représentation corpusculaire est restée implicite. Elle tire son pouvoir de sa clandestinité, et n’a donc jamais été questionnée, ni jetée aux poubelles de l’Histoire des Sciences. Nous venons de montrer que cette célérité ± c était déjà une prévision contenue dans la simple diagonalisation de la transformation de Lorentz. Il aurait suffi de procéder à cette vérification. L’expérience de H. Rauch & al. suggère que cette relation : « la fréquence électromagnétique (ou "de phase généralisée") est le double de la fréquence broglienne » serait générale pour les fermions de spin ½, mais cette généralité reste à prouver.

Cette solution de l’équation de Dirac, le "tremblement de Schrödinger", précisait une intuition de Louis de Broglie : tout quanton (quantum d’onde) massif, donc tout électron, est une horloge, dont la fréquence d’oscil­lation (spinorielle ? La question est encore sans réponse) est le quotient de son énergie totale (y compris la masse au repos) par le quantum de Planck. Or, en 1927, le vif conflit de générations, consécutif aux massacres sans but de la première guerre mondiale, eut une séquelle dommageable dans le petit monde des physiciens : les ondes et les horloges brogliennes, firent l’objet d’une scotomisation. Presque partout, on effaça les fréquences des quanta d’ondes, et leurs vitesses de phase. On ne conserva que leurs longueurs d’ondes, pour cause d’interférences incontournables. On doit constater que le résultat de Schrödinger (Zitterbewegung), qui mettait en évidence les caractéristiques d’oscillateur électromagnétique de l’électron, et son lien avec l’oscillateur spinoriel de Louis de Broglie, passa aussi aux oubliettes. Exceptions : Dirac (éd. 1967, §69), de Broglie (1952), Bjorken & Drell (1964) et Holland (1993).

3.     Discussion.

3.1.      Ici, le formalisme d’Einstein et de Minkowski semble plus savant que ses découvreurs eux-mêmes, et suggère des significations qui les auraient choqués : tout mouvement d’objet de masse non nulle, se décompose en deux propagations propres, de célérité luminique, mais l’une en sens direct, et l’autre en sens inverse; par surcroît, cette dernière peut s’interpréter, au moins localement, et du moins pour un quanton, comme une propagation antichrone. Il semble qu’aucun auteur n’avait encore procédé à cette vérification heuristique élémentaire, que de réexprimer la métrique de Minkowski, et une transformation de Lorentz, dans une base propre.

3.2.      Ce que rappelle cette vérification, c’est qu’on ne sait toujours presque rien de la signification physique intrinsèque, à l’échelle des quantons, ni de la métrique de Minkowski, ni de la métrique de notre espace euclidien ordinaire. On ne comprend pas l’articulation entre les formes d’« espace-temps » propres aux quantons, et nos métriques macroscopiques. Malgré des travaux de R. Penrose sur les réseaux de spineurs et de twistors, on comprend encore très mal l’émergence statistique macroscopique de nos métriques humaines. Nombreux sont ceux qui résolvent la question par simple identification, en niant tout horizon de compétence.

L’exploration heuristique du formalisme broglien suggère qu’un horizon de compétence se situe vers le rayon Compton, soit pour un électron au repos, 386 fm (ou la moitié de ce rayon ?). Mais nous ignorons là encore presque tout de la signification physique de cet autre horizon très négligé.

Quel est l’horizon de compétence physique de la métrique de Minkowski ? Elle induit une topologie assez grossière : le long de la propagation d’un photon, quanton à temps-propre nul, le photon ne voit pas dans quel sens s’écoule la causalité, car dans son temps propre à la Minkowski, départ et arrivée sont simultanés. Alors que la métrique de l’étendue ordinaire a une bonne compétence collective, celle de la métrique de Minkowski est "individuelle". Reste à mieux définir les "individus" concernés par cette topologie grossière.

Bien que nous ayons de bons protocoles pour mesurer le temps macroscopique (idéation propre à nous autres, êtres macroscopiques et massifs), nous ne savons ni définir ni a fortiori mesurer le temps des quantons.

3.3.      La force de l’habitude nous joue des tours redoutables. Nous confondons la familiarité calculatoire, avec une compréhension, qui jusqu’à présent, nous a collectivement échappé. Depuis plusieurs millénaires, notre géométrie inclut une hypothèse clandestine, l’hypothèse macroscopique (HM) : « Nous sommes tellement loin de la limite atomique de la matière ou de la lumière, que nous ne l’atteindrons jamais ! », et la géométrie einsteinienne souscrit comme les autres à cette hypothèse macroscopique clandestine. L’hypothèse visuelle des « corpuscules » à la Newton, et de leurs coordonnées cartésiennes, dépend aussi de l’HM, et devient absurde dès qu’on abandonne l’HM. Malheureusement, en 1905, Einstein profita de la quantification des ondes lumineuses (quantification en fin de compte, car seule la fin de compte est accessible à notre échelle expérimentale, à qui échappent tous les détails fugaces de la communication ondulatoire, subquantiques), pour restaurer en fraude le corpuscule newtonien, et personne ne s’est encore frotté les yeux depuis. Or, bien que le formalisme de la mécanique quantique soit strictement ondulatoire, et strictement déterministe, on a préféré biffer l’information inscrite dans le formalisme, pour conserver malgré tout le corpuscule néo-newtonien. Pour concilier le caractère déterministe de ce calcul ondulatoire, avec l’évidence expérimentale qu’à l’échelle quantique, la causalité s’écoule exactement autant de la réaction finale d’annihilation vers la réaction initiale de création (donc à masse négative), que l’inverse, et cela à la vitesse supraluminique des ondes de phase brogliennes, en 1927 (Congrès Solvay) Max Born et Werner Heisenberg ont dénié tout caractère physique aux semi-ondes, calculées en semi-ignorance (puisqu’on ignorait très volontairement leurs destinations), et leur ont attribué un mystique caractère de probabilité. Du coup, ils attribuaient aux néo-corpuscules de bien étranges propriétés, dignes des contes de fées et de farfadets, et dignes des querelles des théologiens byzantins sur le sexe, et la taille des pieds des anges, comparés à une tête d’épingle. Leurs opposants de l’époque ne faisaient évidemment pas mieux, qu’ils fussent Albert Einstein ou Louis de Broglie ou David Bohm, car ils croyaient tous à l’HM, aux corpuscules, aux coordonnées macroscopiques, et au temps macroscopique, tous étendus sans preuve vers l’échelle quantique ou subquantique... Du coup personne ne pensa à calculer de combien le principe de Fermat est « large » : quelle est la largeur d’un fuseau de propagation de Fermat, entre la création et l’annihilation d’un photon, ou de tout autre quanton, massif ou non (neutrons, électrons, etc), alors que ce calcul est élémentaire, et prédit exactement la largeur des phénomènes d’interférences.

4.     Propositions

Nous rapprochons les formes diagonales, et de la transformation de Lorentz réelle, et des rotations d’espace ordinaire. Nous proposons qu’au lieu de les considérer hâtivement comme non-physiques, on s’aperçoive qu’elles sont microphysiques. Autrement dit, qu’elles nous guident vers la transition correcte de la physique macroscopique, vers la physique microscopique. Au lieu d’être moins physiques, elles sont plus physiques, mais moins anthropocentriques.

5.     Conclusion

Diagonaliser la transformation de Lorentz est bien plus qu’un simple jeu mathématique, mais décèle ses bases propres, sa métrique propre, et décèle une signification physique inexploitée.

Bibliographie.

APMEP, Commission Mots, n° 6 : Grandeurs et mesures. APMEP, 1982, Paris.

Bjorken J. D., Drell, S. D. : Relativistic Quantum Mechanics. McGraw-Hill, 1964, New York.

de Broglie, L. : La théorie des particules de spin ½ (électrons de Dirac). Gauthier-Villars 1952, Paris.

Dirac P. A. M. : The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press; 4e éd. révisée 1967.

Holland P. R. : The quantum theory of motion. Cambridge University Press, 1993.

Lavau J. : "Vecteurs"? 151 ans de déloyaux services. Dans : Le nombre : une hydre aux n visages. Ouvrage collectif sous la direction de Dominique Flament. Novembre 1997, Editions de la MSH. Paris.

Rauch H., Zeilinger, A., Badurek, G, Wilfing, A., Bauspiess W., Bonse U. : Verification of coherent spinor rotation of Fermions. Physics Letters vol. 54 A, n° 6 pp. 425-427.

Schrödinger, E. : Sitzungsb. d. Berlin. Akad. 1930, p. 418.

 

Auteur : Jacques Lavau.

 

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